מיכה שגריר נולד בשם מיכאל שווגר להוריו קרל ויהודית שווגר, שגרו ברחוב בישופשטראסה (Bishofstrasse) בעיר לינץ שבאוסטריה (באותו רחוב גרה גם משפחתו של אדולף אייכמן‏.

​

בגיל 9 חודשים עלה לארץ וגדל בקיבוץ חפציבה עד שהיה בן 6, ואחר-כך בתל אביב ובחולון. עם גיוסו לצה"ל במסגרת גרעין נח"ל, התנדב לצנחנים לגדוד הנח"ל המוצנח. בצנחנים עבר מסלול הכשרה כלוחם וקורס מ"כים חי"ר. לאחר שחרורו היה חבר קיבוץ הראל מ-1955 עד 1960.

​

מאז שנות השישים גר בשכונת אבו טור בירושלים. למיכה שני בנים, אורון וחגי, וארבעה נכדים. אשתו, עליזה שגריר, נרצחה בפיגוע טרור בפריז ב-1980.

​

שגריר עסק בעיתונות ככתב בעל המשמר (1958 - 1959), בגלי צה"ל ובקול ישראל, שם שימש גם כעורך חדשות (1960 - 1964). בשנת 1964 נשלח כחבר צוות ההקמה של הטלוויזיה הישראלית ללימודים בלונדון, ב-BBC.

​

מאמצע שנות ה-60 ועד היום, ביים והפיק עשרות סרטים, והפך להיות מבכירי המפיקים בישראל.

​

בשנים 1968 - 1988 ניהל את חברת "קסטל תקשורת", מחברות ההפקה הגדולות בישראל, שהתמקדה בתחום התיעודי והפיקה מאות סרטים בבימוי יוצרי תעודה מרכזיים: אורי ברבש, רונית ויס-ברקוביץ, נעמי בן נתן שחורי, אורי גולדשטיין, גדעון גנני, אמנון טייטלבוים, אשר טללים, אלי כהן, מיכאל לב-טוב, דוד פרלוב, לינה צ'פלין ועוד.

​

בשנת 1986 השתתף בסרטו של הבמאי אלי כהן שתי אצבעות מצידון.

מיכה שגריר הוא גיבור סרטו התיעודי של דוד אופק "גבול ונדל"ן", השותף בסרט המחווה עקבות בירושלים (2013).

​

בשנת 1999 קיבל את התואר עמית כבוד של בית הספר סם שפיגל לקולנוע ולטלוויזיה, ירושלים. בשנת 2005 קיבל פרס מפעל חיים של פסטיבל הקולנוע ירושלים.‏ ביולי 2014 ערך בית הספר לקולנוע ע"ש סם שפיגל ערב הוקרה למיכה שגריר במסגרת פסטיבל הקולנוע של סינמטק ירושלים.‏